SteskTech

Пример построения кривой Тромпа (ЦЕМ I 42,5Н ГОСТ 31108-2020 с мелом)

—

от автора

С.В. Еськин
в

Рассмотрим пример построения и анализа кривой Тромпа для стабильной работы системы помола замкнутого цикла с шаровой мельницей и динамическим сепаратором третьего поколения на ее номинальной производительности.

Каждую подготовленную лабораторную пробу (1 — питание сепаратора, 2 — цемент, 3 — крупку) анализируют на лазерном гранулометре не менее трех раз (3-5 вполне достаточно, т.к. погрешности измерений незначительны). Программное обеспечение оборудования автоматически усредняет полученные значения и экспортирует их в виде таблицы «размеры частиц в мкм — полные проходы в %», которую необходимо вручную доработать до формата табл. 1.

x, мкмT(x)Qs(x)Qf(x)Qc(x)νfνcE(x)Kf(x)Kc(x)Ks(x)
0.32213%0.27%0.62%0.00%47%53%-0.02%0.61%-0.01%0.28%
0.37915%0.60%1.23%0.08%47%53%-0.02%1.22%0.07%0.61%
0.44715%1.06%2.05%0.21%47%53%-0.01%2.05%0.21%1.07%
0.52617%1.60%3.04%0.37%47%53%-0.02%3.03%0.36%1.61%
0.62017%2.20%4.10%0.56%47%53%-0.02%4.09%0.55%2.21%
0.73018%2.82%5.18%0.75%47%53%-0.01%5.18%0.75%2.82%
0.85919%3.44%6.26%0.96%47%53%0.00%6.26%0.96%3.44%
1.01218%4.09%7.37%1.18%47%53%0.01%7.37%1.18%4.08%
1.19219%4.78%8.56%1.41%47%53%0.02%8.57%1.42%4.77%
1.40318%5.54%9.86%1.67%47%53%0.03%9.87%1.68%5.52%
1.65318%6.39%11.31%1.95%47%53%0.05%11.33%1.97%6.36%
1.94617%7.33%12.93%2.25%47%53%0.07%12.96%2.28%7.28%
2.29215%8.35%14.71%2.56%47%53%0.09%14.74%2.59%8.29%
2.69914%9.44%16.63%2.85%47%53%0.13%16.68%2.90%9.36%
3.17812%10.58%18.70%3.14%47%53%0.15%18.75%3.19%10.49%
3.74311%11.79%20.95%3.42%47%53%0.15%21.00%3.47%11.69%
4.40810%13.08%23.39%3.68%47%53%0.16%23.45%3.74%12.98%
5.1919%14.46%26.04%3.94%47%53%0.16%26.10%4.00%14.36%
6.1138%15.94%28.93%4.19%47%53%0.15%28.98%4.24%15.84%
7.1988%17.54%32.08%4.44%47%53%0.14%32.13%4.49%17.45%
8.4778%19.28%35.52%4.69%47%53%0.14%35.57%4.74%19.19%
9.9838%21.19%39.28%4.96%47%53%0.14%39.33%5.01%21.10%
11.7568%23.29%43.39%5.25%47%53%0.16%43.44%5.31%23.18%
13.8449%25.62%47.91%5.59%47%53%0.19%47.97%5.66%25.49%
16.30311%28.22%52.86%6.00%47%53%0.26%52.94%6.09%28.05%
19.19816%31.17%58.30%6.59%47%53%0.34%58.40%6.71%30.94%
22.60824%34.55%64.20%7.54%47%53%0.45%64.32%7.70%34.24%
26.62434%38.45%70.43%9.20%47%53%0.55%70.57%9.39%38.07%
31.35347%43.00%76.74%12.06%47%53%0.62%76.90%12.28%42.57%
36.92259%48.31%82.75%16.66%47%53%0.67%82.91%16.90%47.84%
43.48070%54.33%88.07%23.39%47%53%0.62%88.21%23.61%53.89%
51.20379%60.85%92.39%32.17%47%53%0.45%92.49%32.33%60.53%
60.29886%67.53%95.58%42.46%47%53%0.17%95.62%42.52%67.41%
71.00891%74.01%97.70%53.48%47%53%-0.20%97.66%53.41%74.15%
83.62095%80.02%98.97%64.40%47%53%-0.58%98.85%64.19%80.44%
98.47398%85.38%99.65%74.54%47%53%-0.93%99.46%74.21%86.05%
115.96499%90.00%99.93%83.38%47%53%-1.14%99.70%82.98%90.81%
136.56299%93.77%100.00%90.45%47%53%-1.16%99.76%90.04%94.60%
160.81898%96.63%100.00%95.48%47%53%-0.97%99.80%95.14%97.32%
189.38296%98.54%100.00%98.49%47%53%-0.66%99.86%98.26%99.01%
223.02187%99.57%100.00%99.78%47%53%-0.31%99.94%99.67%99.79%
262.634100%99.94%100.00%100.00%47%53%-0.06%99.99%99.98%99.98%
1454.95%1997.61%976.17%
Таблица 1. Результаты PSD-анализа цемента на лазерном гранулометре и расчетов селективности.

Обозначения:

  • x — размер частиц;
  • T(x) — селективность;
  • Qs(x) — полный проход частиц питания сепаратора;
  • Qf(x) — полный проход частиц цемента;
  • Qc(x) — полный проход частиц крупки;
  • νf — массовая доля цемента в питании сепаратора;
  • νc — массовая доля крупки в питании сепаратора;
  • E(x) — стохастическая погрешность массового баланса;
  • Ks(x) — полный проход частиц питания сепаратора с учетом корректировки;
  • Kf(x) — полный проход частиц цемента с учетом корректировки;
  • Kc(x) — полный проход частиц крупки с учетом корректировки.

Далее, по формуле (2) подраздела «Кривая Тромпа» вычисляют массовую долю крупки в питании сепаратора:

νr,c=∑Qf(x)−∑Qs(x)∑Qf(x)−∑Qc(x)=1997.61%−1454.95%1997.61%−976.17%=53%\nu_{r,c} = \frac{\sum Q_f(x) — \sum Q_s(x)}{\sum Q_f(x) — \sum Q_c(x)} = \frac{1997.61\% — 1454.95\%}{1997.61\% — 976.17\%} = 53\%

Массовая доля цемента в питании сепаратора:

νf=100%−νc=100%−53%=47%\nu_f = 100\% — \nu_c = 100\% — 53\% = 47\%

В идеальном случае без погрешностей (систематических и стохастических) должно соблюдаться условие массового баланса:

Qs(x)−νfQf(x)−νcQc(x)=0(1)\begin{equation} Q_s(x) — \nu_f Q_f(x) — \nu_c Q_c(x) = 0 \tag{1} \end{equation}

Но, на практике вместо нуля по правую сторону от знака равенства в формуле (1) получается положительное или отрицательное число — стохастическая погрешность массового баланса E(x):

Qs(x)−νfQf(x)−νcQc(x)=E(x)(2)\begin{equation} Q_s(x) — \nu_f Q_f(x) — \nu_c Q_c(x) = E(x) \tag{2} \end{equation}

E(x) используют для последующей корректировки полных проходов по формулам:

Kf(x)=Qf(x)+E(x)νf1+νf2+νc2(3)\begin{equation} K_f(x) = Q_f(x) + \frac{E(x)\nu_f}{1 + \nu_f^2 + \nu_c^2} \tag{3} \end{equation}
Kc(x)=Qc(x)+E(x)νc1+νf2+νc2(4)\begin{equation} K_c(x) = Q_c(x) + \frac{E(x)\nu_c}{1 + \nu_f^2 + \nu_c^2} \tag{4} \end{equation}

Согласование скорректированных полных проходов выполняют по уравнению связи потоков, чтобы кривая Тромпа приняла более подходящий для восприятия и анализа вид:

Ks(x)=νfKf(x)+νcKc(x)(5)\begin{equation} K_s(x) = \nu_f K_f(x) + \nu_c K_c(x) \tag{5} \end{equation}

Пример расчета E(x) и откорректированных полных проходов для частиц размером 0.322 мкм (табл. 1):

E(x)=Qs(x)−νfQf(x)−νcQc(x)=0.0027−0.47⋅0.0062−0.53⋅0=−0.0002=−0.02%\begin{equation} E(x) = Q_s(x) — \nu_f Q_f(x) — \nu_c Q_c(x) = 0.0027 — 0.47 \cdot 0.0062 — 0.53 \cdot 0 = -0.0002 = -0.02\% \end{equation}
Kf(x)=Qf(x)+E(x)νf1+νf2+νc2=0.0062+−0.0002⋅0.471+0.472+0.532=0.0062+−0.0000941.5018=0.0061=0.61%\begin{equation} K_f(x) = Q_f(x) + \frac{E(x)\nu_f}{1 + \nu_f^2 + \nu_c^2} = 0.0062 + \frac{-0.0002 \cdot 0.47}{1 + 0.47^2 + 0.53^2} = 0.0062 + \frac{-0.000094}{1.5018} = 0.0061 = 0.61\% \end{equation}
Kc(x)=Qc(x)+E(x)νc1+νf2+νc2=0+−0.0002⋅0.531+0.472+0.532=−0.0001061.5018≈−0.0001≈−0.01%\begin{equation} K_c(x) = Q_c(x) + \frac{E(x)\nu_c}{1 + \nu_f^2 + \nu_c^2} = 0 + \frac{-0.0002 \cdot 0.53}{1 + 0.47^2 + 0.53^2} = \frac{-0.000106}{1.5018} \approx -0.0001 \approx -0.01\% \end{equation}
Ks(x)=νfKf(x)+νcKc(x)=0.47⋅0.0061+0.53⋅(−0.0001)=0.002867−0.000053=0.0028=0.28%\begin{equation} K_s(x) = \nu_f K_f(x) + \nu_c K_c(x) = 0.47 \cdot 0.0061 + 0.53 \cdot (-0.0001) = 0.002867 — 0.000053 = 0.0028 = 0.28\% \end{equation}

Заключительный шаг — вычисление селективности:

T(x)=νc[Kc(xi)−Kc(xi−1)][Ks(xi)−Ks(xi−1)](6)\begin{equation} T(x) = \nu_c \, \frac{\left[ K_c(x_i) — K_c(x_{i-1}) \right]}{\left[ K_s(x_i) — K_s(x_{i-1}) \right]} \tag{6} \end{equation}

Пример расчета T(x) для x = 0.322 мкм:

T(x)=νc[Kc(xi)−Kc(xi−1)][Ks(xi)−Ks(xi−1)]=53%⋅0.07%−(−0.01%)0.61%−0.28%=53%⋅0.08%0.33%=12.85%≈13%\begin{equation} T(x) = \nu_c \, \frac{\left[ K_c(x_i) — K_c(x_{i-1}) \right]}{\left[ K_s(x_i) — K_s(x_{i-1}) \right]} = 53\% \cdot \frac{0.07\% — (-0.01\%)}{0.61\% — 0.28\%} = 53\% \cdot \frac{0.08\%}{0.33\%} = 12.85\% \approx 13\% \end{equation}

Вычислив T(x) для всех размеров частиц, можно построить кривую Тромпа:

Рис. 1. Пример кривой Тромпа, построенной по табл. 1.

Лазерные гранулометры дают наиболее воспроизводимые результаты в диапазоне крупных частиц — от 3-5 мкм1 до 1-2 мм (рассеяние/аппроксимация Фраунхофера [Fraunhofer scattering/approximation]). Это связано с конструктивом прибора и расчетной методикой. Подробности в статье [1]. Анализ размеров частиц <4 мкм, тем более субмикронных, требует: во-первых, применения дополнительных модулей (“железа”/hardware) к лазерной дифракции, во-вторых, использования более сложных формул с введением оптических параметров частиц и среды (рассеяние/аппроксимация Ми [Mie])2, в-третьих, опытного и понимающего оператора гранулометра. С практической точки зрения для кривой Тромпа, операционного контроля сырьевой муки и цемента достаточно работать в диапазоне >3-5 мкм.

Если построенная кривая Тромпа имеет вид более-менее похожий на рис. 1, то можно приступать к расчету ее основных показателей, перечисленных в табл. 2. В противном случае следует найти причину отклонения.

ПоказательЗначениеНорма для сепаратора третьего поколения
плотность разделения, x50, мкм33
x25, мкм23
x75, мкм48
коэффициент несовершенства0.38<0.35
острота сепарации0.48>0.5
байпас8%<10%
Таблица. 2. Основные показатели кривой Тромпа (рис. 1).
I=x75−x252x50=48−232⋅33=0.38\begin{equation} I = \frac{x_{75} — x_{25}}{2x_{50}} = \frac{48 — 23}{2 \cdot 33} = 0.38 \end{equation}
k25/75=x25x75=2348=0.48\begin{equation} k_{25/75} = \frac{x_{25}}{x_{75}} = \frac{23}{48} = 0.48 \end{equation}

Значения x25, x50, x75 можно вычислить по формуле уравнения прямой, взяв исходные данные из табл. 1:

x=(y−ya)(xb−xa)yb−ya+xa(7)\begin{equation} x = \frac{(y — y_a)(x_b — x_a)}{y_b — y_a} + x_a \tag{7} \end{equation}

Обозначения:

  • xa и ya — координаты первой известной точки;
  • xb и yb — координаты второй известной точки;
  • y — известная координата третьей точки;
  • x — неизвестная координата третьей точки.

Пример такого расчета для x50:

x=(y−ya)(xb−xa)yb−ya+xa⇒x50=(y50−ya)(xb−xa)yb−ya+xa=(50%−47%)(36.922−31.353)59%−47%+31.353=32.745≈33 мкм\begin{equation} x = \frac{(y — y_a)(x_b — x_a)}{y_b — y_a} + x_a \;\Rightarrow\; x_{50} = \frac{(y_{50} — y_a)(x_b — x_a)}{y_b — y_a} + x_a = \frac{(50\% — 47\%)(36.922 — 31.353)}{59\% — 47\%} + 31.353 = 32.745 \approx 33\ \text{мкм} \end{equation}

Из табл. 2 следует, что рассматриваемый динамический сепаратор в целом работает удовлетворительно: байпас находится в допустимых пределах, однако по коэффициенту несовершенства и остроте сепарации он немного выходит за пределы рекомендуемых значений.

Литература

  1. Keck C.M., Muller R.H. Size analysis of submicron particles by laser diffractometry — 90% of the published measurements are false // International Journal of Pharmaceutics. — 2008. — Vol. 355. — P. 150-163. DOI: 10.1016/j.ijpharm.2007.12.004.
  1. Минимальный рекомендуемый размер анализируемых частиц должен в 5-6 раз превышать длину волны лазера дифрактометра (лазерного гранулометра). Обычно длина волны лазера на разных прибор находится в диапазоне 633-800 нм, значит: xmin=0.8×6≈4 мкм. ↩︎
  2. Коэффициент преломления и коэффициент экстинкции зависит не только от структуры вещества, но и температуры, а также длины волны лазера дифрактометра. Точно определять и применять эти параметры довольно непросто. ↩︎

Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *